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河北省武邑中学2019届高三数学下学期第一次质检试题理(含解析)

发布时间:

河北省武邑中学 2019 届高三下学期第一次质检

数学(理)试题

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 2

至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚,同时用

2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.

2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净

后再选涂其它答案;非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题

区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合

,

.若

,则实数 的值是( )

A.

B. 或

C.

D. 或 或

【答案】B

【解析】

试题分析:由于

,所以 ,又因为



以及集合中元素的互异

性知 或 ,故选 B.

考点:集合的子集.

2.已知

,则复数的共轭复数在复*面内所对应的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象



【答案】D

【解析】

【分析】

由复数的除法运算得到 z,再由共轭复数的概念得到结果.

【详解】已知

,

,共轭复数为: ,对应的点

为(2,-1)在第四象限. 故答案为:D. 【点睛】这个题目考查了复数的几何意义,z=a+bi(a,b∈R)与复*面上的点 Z(a,b)、 *面向量 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点);复*面内,实轴上的点都表示 实数;虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.涉及到共轭复数的概念,一般地,当两个复数的 实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数 z 的共轭复数记作. 3.A 地的天气预报显示,A 地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为 ,现用随机模 拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生 之间整数值的随 机数,并用 0,1,2,3,4,5,6 表示没有强浓雾,用 7,8,9 表示有强浓雾,再以每 3 个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下 20 组随机数: 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率*似为

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共 54 随机数,根据概 率公式,得到结果. 【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果,经随机模拟产生了如下 20 组 随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有, 可以通过列举得到共 5 组随机数:978,479、588、779,共 4 组随机数,

所求概率为



故选:D. 【点睛】本题考查模拟方法估计概率,解题主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本 题的应用.

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 分析:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值得变化情况,可得答案. 详解:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
的值,

由于

.

故选:A.

点睛:程序框图的应用技巧

(1)条件结构的应用:利用条件结构解决算法问题时,要引入判断框,根据题目的要求引入

一个或多个判断框,而判断框内的条件不同,对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地

进行变化,故要逐个分析判断框内的条件.

(2)在解决一些有规律的科学计算问题,尤其是累加、累乘等问题时,往往可以利用循环结

构来解决.在循环结构中,需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量;执行循环结构首先要

分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体.其次注意控制循环的

变量是什么,何时退出循环.最后要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的.

5.执行如图所示的程序框图,若输出的

,则判断框内应填入的条件是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

S=0,k=1,k=2,S=2,否;k=3,S=7,否;k=4,S=18,否;k=5,S=41,否;k

=6,S=88,是.所以条件为 k>5,故选 B.

6.已知双曲线

,四点



中恰有三点在双曲

线上,则该双曲线的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 分析:先判断



在双曲线上,则

一定不在双曲线上,则

在双曲

线上,则可得

,求出 ,再根据离心率公式计算即可.

详解:根据双曲线的性质可得



在双曲线上,则

一定不在双曲线上,



在双曲线上,

解得

故选 C. 点睛:本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法,属于基础题

7.已知

是双曲线 :

上的一点, , 是 的两个焦点,若



则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 由题知





=

=

,解得

A. 考点:双曲线的标准方程;向量数量积坐标表示;一元二次不等式解法. 【此处有视频,请去附件查看】

所以 ,故选

8.已知函数 递减区间是( ) A.

C. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的对称中心为 递减区间. 【详解】∵函数











∴,







的图象的一个对称中心为 ,则函数 的单调
B. D.

可求得 ,故得到

,然后可得函数的单调

的图象的一个对称中心为 , ,







∴函数 的单调递减区间是



故选 D.

【点睛】解答本题的关键有两个:一是把函数的对称中心与函数的零点结合在一起考虑;二

是在研究函数

的性质时,要将

作为一个整体,再结合正弦函数的

相关性质进行求解,解题时需要注意参数 对结果的影响.

9.如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a,动点 M、N、Q 分别在线段 上,当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:由三棱锥

的俯视图分析可知,此时 为 的中点, 与点 重合, 与点

重合..所以正视图面积等于

.故 B 正确.

考点:三视图.

10.已知三棱锥 P-ABC 中,

,且

,则该三棱锥

的外接球的体积等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

【分析】

由正弦定理可求出 外接圆的半径

,设 外接圆的圆心为 ,根据题意可得三

棱锥的外接球的球心在过 且与*面 垂直的直线 上,结合勾股定理可求得球的半径

,于是可得外接球的体积.

【详解】如图,设 外接圆的圆心为 ,半径为,则





由题意得球心 在过 且与*面 垂直的直线



,则



设球半径为 ,

则在

中有

,①



中有

,②

上,

由①②两式得 ,

所以





所以该三棱锥的外接球的体积为



故选 A. 【点睛】解答几何体的外接球的问题时,关键在于如何确定外接球球心的位置和半径,其中 球心在过底面多边形的外接圆的圆心且与底面垂直的直线上,且球心到几何体各顶点的距离 相等,再在直角三角形中结合勾股定理求解可得球的半径.

11.已知双曲线

的离心率为 2, 分别是双曲线的左、右焦点,点



,点 为线段 上的动点,当

取得最小值和最大值时,



面积分别为 ,则 ( )

A. 4

B. 8

C.

D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据离心率公式和双曲线方程的 a,b,c 的关系,可知

,根据题意表示出点

p

和 m 的取值范围,利用*面向量数量积的坐标表示得关于 m 的一元二次函数,

问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值,进而问题得解.

【详解】由

,得

,故线段 所在直线的方程为

,又

点 在线段

上,可设 ,得

,其中

,由于

,即 ,所以

.由于 ,

,可知当

时,

取得最小值,此时

当 时,

取得最大值,此时

,则

.故选 A.

【点睛】本题考查了*面向量在解析几何中应用,涉及了双曲线的简单性质,*面向量的数

量积表示,二次函数在给定区间的最值问题;关键是利用向量作为工具,通过运算脱去“向

量外衣”,将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题,进而解决距离、夹角、最值等

问题.

12.已知函数 的导函数为 ,若

,则不等式

的解

集为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 结合题意构造函数
.然后将不等式变形为

,求导后可得函数 在 上为增函数,且 ,进而根据函数的单调性得到不等式的解

集.

【详解】设







所以函数

在 上为增函数.





所以



又不等式

等价于





,解得 ,

所以不等式的解集为



故选 D.

【点睛】对于含有导函数的不等式的问题,在求解过程中一般要通过构造函数来解决,构造

时要结合题中的条件进行,然后再判断出所构造的函数的单调性,进而达到解题的目的.考

查观察、分析和解决问题的能力,属于中档题.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知实数 , 满足条件

,则 的最大值为__________.

【答案】3 【解析】 【分析】 作出题中所给的约束条件对应的可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最 优解,把最优解的坐标代入目标函数求得答案. 【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域如图所示:



,得



从而上下移动直线,可知当直线过点 A 时,取得最大值,



解得

,此时



故答案是:3. 【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,在解题的过程中,需要准确地画出约束条件对 应的可行域,找出最优解,将最优解代入目标函数,求得结果.

14.已知 为常数,且

,则

的二项展开式中的常数项为__________.

【答案】 【解析】

由题意可得:



展开式的通项公式:



展开式为常数项时:



据此可得展开式中的常数项为

.

15.现将 6 张连号的门票分给甲、乙等六人,每人 1 张,且甲、乙分得的电影票连号,则共 有__________种不同的分法(用数字作答). 【答案】240 【解析】 【分析】 先求出甲、乙连号的情况,然后再将剩余的 4 张票分给其余 4 个人即可.

【详解】甲、乙分得的门票连号,共有

种情况,其余四人没人分得 1 张门票,

共有

种情况,

所以共有

种.

故答案为:240.

【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算,考查应用所学知识解决问题的能力,属

于基础题.

16.已知点 A 是抛物线

的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上

且满足

,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线

的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】

过 P 作准线的垂线,垂足为 N,则由抛物线的定义,结合

,可得

,设

PA 的倾斜角为 ,则当 m 取得最大值时, 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,求出 P 的

坐标,利用双曲线的定义,即可求得双曲线的离心率.

【详解】过 P 作准线的垂线,垂足为 N,

则由抛物线的定义可得





,则



设 PA 的倾斜角为 ,则



当 m 取得最大值时, 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,

设直线 PA 的方程为

,代入

,可得













双曲线的实轴长为



双曲线的离心率为



故答案为:



【点睛】本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能

力,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式 ;

②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式,结合

转化为 的齐次式,然后等

式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 ( 的

取值范围).

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列 的前 项的和为 ,

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)设

,求



(3)设

, 表示不超过 的最大整数,求 的前 1000 项的和.

【答案】(1)

; (2)

; (3) .

【解析】 【分析】 ( 1 ) 根 据 题 意 求 出 等 差 数 列 的 首 项 和 公 差 后 可 得 其 通 项 公 式 ;( 2 ) 由 题 意 得

,然后根据裂项相消法可求出数列的和;(3)根据

分组求和法可得 的前 1000 项的和.

【详解】(1)由题意得







设等差数列

的公差为 ,













(2)由(1)得







(3)由(1)得,



时,



时,



时,



时,

,所以 ; ,所以 ; ,所以 ; ,所以 .





∴数列 的前 1000 项的和为



【点睛】(1)对于等差数列的运算,在解题时可转换为基本量(首项和公差)的运算来处理.求 数列的和时,可根据通项公式的特点,选择合适的方法求解. (2)解答数列中的新概念问题时,要读懂给出的信息,从中找到解题的思路和方法,然后 再进行求解. 18.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取 100 桶检测某项质量指标, 由检测结果得到如图的频率分布直方图:

(I)写出频率分布直方图(甲)中 的值;记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标的方差

分别为 ,试比较 的大小(只要求写出答案);

(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取 1 桶,恰有一个桶的质量指标大于 20,且另—

个桶的质量指标不大于 20 的概率;

(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值 服从正态分布

.其中 *

似为样本*均数 , *似为样本方差 ,设 表示从乙种食用油中随机抽取 10 桶,其质量

指标值位于(14.55, 38.45)的桶数,求 的数学期望.

注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得

②若

,则



: .

【答案】(1)

;(2)0.42;(3)6.826.

【解析】 【分析】 (Ⅰ)由频率分布直方图的矩形面积和为 1 可得 再由分布的离散程度即可比较方差大小; (Ⅱ)设事件 A,事件 B,事件 C,求出 P(A),P(B),P(C)即可; (Ⅲ)求出从乙种食用油中随机抽取 10 桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是 0.6826,得到 X~B(10,0.6826),求出 EX 即可.

【详解】(Ⅰ)



(Ⅱ)设事件 :在甲公司产品中随机抽取 1 颗,其质量指标不大于 20,

事件 :在乙公司产品中随机抽取 1 颗,其质量指标不大于 20,

事件 :在甲、乙公司产品中随机抽各取 1 颗,恰有一颗糖果的质量指标大于 20,且另一个

不大于 20,则







(Ⅲ)计算得:

,由条件得

从而



从乙公司产品中随机抽取 10 颗,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是 0.6826,

依题意得



.

【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求法,独立重复试验概率的求法,考查计算能力,

属于中档题.

19.在四棱锥

中,



.

(Ⅰ)若点 为 的中点,求证: ∥*面 ;

(Ⅱ)当*面

*面 时,求二面角

的余弦值.

【答案】(1)见解析; (2) .

【解析】

【分析】

(I)结合*面与*面*行判定,得到*面 BEM *行*面 PAD,结合*面与*面性质,证明结

论.(II)建立空间坐标系,分别计算*面 PCD 和*面 PDB 的法向量,结合向量数量积公式,计算

余弦值,即可.

【详解】(Ⅰ)取 的中点为 ,连结 , .

由已知得, 为等边三角形,

.













,∴

.

又∵ *面 , *面 ,

∴ ∥*面 .

∵ 为 的中点, 为 的中点,∴ ∥ .

又∵ *面 , *面 ,

∴ ∥*面 .



,∴*面 ∥*面 .

∵ *面 ,∴ ∥*面 .

(Ⅱ)连结 ,交 于点 ,连结 ,由对称性知, 为 的中点,且



.

∵*面

*面 ,



∴ *面 ,



.

以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系

.

则 (0, ,0), (3,0,0), (0,0,1).

易知*面 的一个法向量为

.

设*面 的法向量为







,∴







,∴

.



,得

,∴





.

设二面角

的大小为 ,则

.

【点睛】

本道题考查了*面与*面*行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标

系,难度偏难.

20.已知*面直角坐标系内的动点 P 到直线

的距离与到点

的距离比为 .

(1)求动点 P 所在曲线 E 的方程;

(2)设点 Q 为曲线 E 与 轴正半轴的交点,过坐标原点 O 作直线,与曲线 E 相交于异于点

的不同两点 ,点 C 满足

,直线 和 分别与以 C 为圆心, 为半径的圆相

交于点 A 和点 B,求△QAC 与△QBC 的面积之比 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】 【分析】

(1) 设动点 P 的坐标为

, 由题意可得

,整理可得曲线 E 的方程;

(2) 解法一:可得圆 C 方程为

,设直线 MQ 的方程为

,设直线 NQ

的方程为

,分别与圆联立,可得



,可得

解法二:可得圆 C 方程为

距离为



,可得

,代入可得答案;

,设直线 MQ 的方程为

,则点 C 到 MQ 的



,设直线 NQ 的方程为

,同理可得:



,可得

,代入可

得答案.

【详解】解:(1)设动点 P 的坐标为

,由题意可得



整理,得:

,即

为所求曲线 E 的方程;

(2)(解法一)由已知得:





由题意可得直线 MQ,NQ 的斜率存在且不为 0

,即圆 C 方程为

设直线 MQ 的方程为

,与

联立得:

所以, 同理,设直线 NQ 的方程为 所以

,与

联立得:

因此

由于直线过坐标原点,所以点 与点 关于坐标原点对称





,所以,



在曲线 上,所以

,即





由于

,所以,

(解法二)由已知得:





,即圆 C 方程为

由题意可得直线 MQ,NQ 的斜率存在且不为 0

设直线 MQ 的方程为

,则点 C 到 MQ 的距离为

所以

于是,

设直线 NQ 的方程为

,同理可得:

所以 由于直线 l 过坐标原点,所以点 M 与点 N 关于坐标原点对称





,所以,



在曲线 上,所以

,即





由于

,所以,

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,三角形的面积公式的应用, 向量数量积的应用,考查计算能力,转化思想.

21.已知函数

(其中 )

(1)求 (2)当

的单调减区间;

时,

恒成立,求 的取值范围;

(3)设

只有两个零点 (

),求 的值.

【答案】(1)单调减区间为(-∞,0)和(0,1);(2) ;(3) . 【解析】 【分析】 (1)先求得函数的定义域,然后求导,利用导数求得函数的单调减区间.(2)构造函数
,利用其二阶导数研究它的单调性,由此求得 的取值范围.(3)化简 ,利用导数,研究 零点分布的情况,由此求得 的值.

【详解】(1) 的定义域为{x|x≠0},



<0,解得:x<1,

所以,

的单调减区间为(-∞,0)和(0,1)

(2)“当 时, .构造函数 .

恒成立”等价于“当 ,则

时, .记

(i)若

,则



上恒成立, 在

恒成立”,其中 ,则
上单调递增,因此

当 时,有



,即

,即

,所以 在 ,故

上单调递增,因此当 恒成立,符合题意.

时,

(ii)若 ,则



上恒成立,所以 在

上单调递减,

因此当 因此

时,有 时,有

,即 ,即

,所以 在 .故

上单调递减, 不对任意

恒成立,不符合题意.综上所述, 的取值范围是 .

(3)

,所以

,依题意知关于 的方程

只有两个实数根

,即关于的方程

只有两个非零实根

,其中

.故

,或



.

(i)若

,则 ,不符合题意;

(ii)若

,比较对应项系数,得

,解得

.不满足

,故不符合题意;

(iii)若

,同理可得

,符合题意,此时

.综上所述, 的值为 .

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求解不等式恒成立问题,

考查利用导数求解函数零点比值的问题.综合性很强,属于难题.要研究一个函数的单调性和

最值,首先求函数的定义域,要在定义域的范围内研究函数的单调性,然后求导,用导数的

知识来解决单调性的问题.

选做题(下面两题任意选一个题目,多做只按第一题给分,每题 10 分)

22.在*面直角坐标系 xOy 中,圆 O 的方程为

,以坐标原点为极点,x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是



求圆 O 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程;

已知 M,N 是曲线 C 与 x 轴的两个交点,点 P 为圆 O 上的任意一点,证明:

为定值.

【答案】(1)圆 O 的参数方程为

, 为参数,;(2)曲线 的直角坐标方程为

. 【解析】 【分析】
首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换. 利用三角函数关系式的恒等变换求出定值.

【详解】 圆 O 的参数方程为

, 为参数,





得:







所以曲线 C 的直角坐标方程为



证明:由 知





可设



所以





所以

为定值 10.

【点睛】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,三角函数关

系式的恒等变换.

23.设函数



,其中 .

(1)求不等式

的解集;

(2)若对任意 ,都存在 ,使得

,求实数 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

【解析】

试题分析:(1)讨论 x 的取值范围,把问题转化为三个不等式组问题,分别求解集,最后取

并集即可;(2)设 的值域为 , 的值域为 .对任意

,都存在

,使得

等价于:

试题解析:

(I)不等式

,则



解得:

或 ,即

所以不等式

的解集为



(II)设 的值域为 , 的值域为 .

对任意 ,都存在 ,使得





①当 时,

等价于: 不满足题意;

②当

时,

,由



,得 ,不满足

题意;

③当 时,

,由



,得

,满足题意;

综上所述,实数 的取值范围是:






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